第Ⅰ卷（选择题　44分）
　　一、选择题：下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的（本题共44分，1—4小题每小题3分，5—12小题每小题4分）
　　1．在5，2.1， ，π四个实数中，无理数的个数是（　　）
　 （A）1                 （B）2                 （C）3                 （D）4
　　2．计算 的结果为（　　）
　　（A）1                 （B）－1              （C）2x＋y          （D）x＋y
　　3．下列计算正确的是（　　）
　　（A）10－4·104＝1                           （B）（104）2＝1016
　　（C）（3×10）3＝9×103                    （D）103·102＝106
　　4．计算 的结果是（　　）
　　（A）         （B） ＋1        （C）3 －1      （D）3 ＋1
　　5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式成立的是（　　）
　　（A）b＝c·cosA                             （B）b＝a·sinb
　　（C）a＝b·tanB                             （D）b＝c·cotA
　　6．计算2sin30° －2cos60°＋tan45°的结果是 （　　）
　　（A）2                 （B）              （C）              （D）1
　　7．在圆中，一条弧的长为l，半径为R，那么这条弧所对的圆心角为（　　）
　　（A） 度       （B） 度       （C） 度        （D） 度
　　8．已知a的平方根是±8，则a的立方根是（　　）
　　（A）±2              （B）±4              （C）2                 （D）4
　　9．两条对角线互相垂直平分的四边形是（　　）
　　（A）梯形            （B）矩形            （C）菱形            （D）正方形
　　10．若函数y＝k1x（k1≠0）和函数y＝ （k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（　　）
　　（A）互为倒数     （B）符号相同     （C）绝对值相等 （D）符号相反
　　11．如图1，从下列四个条件：①BC＝B′C， ②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是（　　）
图1
　　（A）1个             （B）2个             （C）3个             （D）4个
　　12．若x＝1时，代数式ax3＋bx＋1的值为5，则x＝－1时，代数式ax3＋bx＋1的值等于（　　）
　　（A）0                 （B）－3              （C）－4              （D）－5
第Ⅱ卷（填空题、解答题   共76分）
　　二、填空题：将答案写在横线上（本题共32分，每小题4分）
　　13．分解因式x5－x3＝__________．
　　14．方程 的根为__________．
　　15．已知等腰梯形的周长为80cm，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于_____cm．
　　16．函数y＝ 的自变量x的取值范围是__________．
　　17．等腰直线三角形斜边长为 ，则它的面积为__________．
  18．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是__________．
图2
　　19．如图3，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是__________．
图3
　　20．“在一次考试中，考生有2万多名，如果为了得到这些考生的数学平均成绩，而将他们的成绩全部相加再除以考生总数，那将是十分麻烦的，那么怎样才能了解这些考生的数学平均成绩呢”？
　　通常，在考生很多的情况下，我们是从中抽取部分考生（比如说500名）的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩．
　　上述文字表述了统计中用样本平均数估计总体平均数的统计思想，其中，总体指的是____________________，个体指的是____________________．
　　请你用简洁的语言，举一个在实际生活中，运用同样思想解决问题的例子：______________________________________________________________________________________
　　三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本题共44分）
　　21．（本题4分）
　　解不等式：1＋ x＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
　　
　　
　　22．（本题4分）
　　已知：如图4，AD·AB＝AE·AC．
图4
　　求证：△FDB∽△FEC．
　　
　　
　　23．（本题6分）
　　已知：如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点．
图5
　　
　　
　　24．（本题6分）
　　列方程解应用题：
　　某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分，按0.45∕元吨收费；超过10吨而不超过20吨部分，按0.80元∕吨收费；超市20吨部分，按1.5元∕吨收费，现已知李老师家六月份缴水费14元，问老师家六月份用水多少吨？
　　
　　
　　25．（本题7分）
　　已知：CF是⊙O直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P．
　　（1）如图6，若∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；
图6
　　
　　
　　（2）如图7，若E为BC上一点，且满足PE2＝PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A，求证点A为BC的中点．
图7
　　
　　
　　26．（本题7分）
若关于x的一元二次方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个实数根x1、x2满足关系式：
x1（x1＋1）＋x2（x2＋1）＝（x1＋1）（x2＋1）．
判断（a＋b）2≤4是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例．
　　
　　
　　27．（本题10分）
　　已知：抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上．
　　（1）求a的值；
　　（2）求a＞0时，该抛物线与直线y＝x＋9交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；
　　（3）P为（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q．线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．
 
 
北京市宣武区2002年初中升学统一考试
　　数学试卷答案及评分标准
　　第Ⅰ卷　（选择题　44分）
　　一、选择题（1－4小题每小题3分，5－12小题每小题4分）
题　号 1 2 3 4 5 6
答　案 B A A C A D
题　号 7 8 9 10 11 12
答　案 B D C D B B

二、填空题（本题共32分，每小题4分）
　　13．x3（x＋1）（x－1）     14．x＝－4          15．20           16．x≠1且x≠2
　　17．                                18．R＝2.4或3＜R≤4              19．y＝
　　20．所有考生的数学成绩的全体；每一名考生的数学成绩；第三空考生答案能体现出用样本平均数估计总体平均数的思想即给2分．
　　三、解答题（21、22题每题4分，23、24题每题6分，27题10分，共44分）
　　21．解不等式：1＋ x＞ ，并把它的解集在数轴上表示出来．
　　解：去分母，得6＋3x＞2x－2，
　　解得　x＞－8．……………………………………………………………………………3分
                     ……………………4分
　　22．已知：如图2，AD·AB＝AE·AC．
　　求证：△FDB∽△FEC．
图2
　　证明：
　　∵　AD·AB＝AE·AC
　　∴　 ．
　　又∵　∠A＝∠A，
　　∴　△ABE∽△ACD．　………………………………………………………………2分
　　∴　∠B＝∠C，
　　又∵　∠1＝∠2，
　　∴　△FDB～△FEC．　………………………………………………………………4分
　　23．已知：如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
图3
　　当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB．
　　条件：∠A＝30°．　………………………………………………………………1分
　　证明：∵　沿直线BE折叠后△BCE与△BDE重合，
　　∴　△BCE≌△BDE，　………………………………………………………………2分
　　∴　∠1＝∠2，∠BDE＝∠C＝30°．
　　在△ABC中，
　　∵　∠C＝90°，∠A＝30°，
　　∴　∠ABC＝60°
　　又∵　∠1＝∠2，
　　∴　∠2＝30°，
　　∴　∠2＝∠A，
　　∴　∠BE＝∠AE．　……………………………………………………………………4分
　　又∵　ED⊥AB，
　　∴　BD＝AD，
　　即点D为AB中点．　…………………………………………………………………6分
　　24．列方程解应用题：
　　某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分，按0.45元/吨；超过10吨而不超过20吨部分，按0.80元/吨收费；超过20吨部分，按1.5元/吨收费，现已知李老师家六月缴水费14元，问李老师家六月份用水多少吨？
　　解：∵　0.45×10＋0.80×（20－10）＝12.5，
　　    12.5＜14，
　　∴　李老师家六月分用水超过20吨．
　　设李老师家六月份用水x吨，则
　　0.45×10÷0.80×（20－10）＋1.5（x－20）＝14，　………………………………3分
　　解得x＝21．　……………………………………………………………………………5分
　　答：李老师家六月份用水21吨．　……………………………………………………6分
　　25．已知：CF是⊙O直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P．
　　（1）如图4，若∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；
图4
　　解：
　　∵　CF为⊙O直径，PF切⊙O于点F，
　　∴　CF⊥PF．
　　又∵　∠P＝45°，
　　∴　∠C＝45°，
　　∴　CF＝PF＝10，
　　∴　⊙O的半径的长为5．　……………………………………………………………2分
　　（2）如图5，若E为BC上一点，且满足PE2＝PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A，求证点A为BC的中点．
图5
　　证法一：
　　连结OA．
　　∵　PF为⊙O切线，PBC为⊙O割线，
　　∴　PF2＝PB•PC，
　　又∵　PE2＝PB•PC，
　　∴　PF＝PE．　…………………………………………………………………………4分
　　∴　∠PFE＝∠PEF．
　　又∵　∠PFE＝∠PEF，
　　∴　∠PFE＝∠PEF．
　　∵　OF＝OA，
　　∴　∠OFA＝∠A．
　　∴　∠A＋∠CEA＝∠OFA＋∠PFE＝90°．
　　∴　点A为BC中点．　………………………………………………………………7分
　　证法二：连结FB．
　　同证法一可得，PF＝PE，　……………………………………………………………4分
　　∴　∠PFE＝∠PEF
　　∵　PF切⊙O于点F，
　　∴　∠PFE＝∠C，
　　又∵　∠PFE＝∠PFB＋∠2，∠PEF＝∠C＋∠1，
　　∴　∠1＝∠2，
　　∴　AC＝AB，
　　即点A为BC中点．　…………………………………………………………………7分
　　26．若关于x的一元二次方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个实数根x1、x2满足关系式：x1（x1＋1）＋x2（x2＋1）＝（x1＋1）（x2＋1）．
　　判断（a＋b）2≤4是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例．
　　判断：正确．
　　证明：∵　关于x的一元二次方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0有两个实数根，
　　∴　Δ≥0
　　即［3（a＋b）］2－4×3×4ab≥0，
　　3（a＋b）2－16ab≥0．　　　　①　………………………………………………2分
　　∵　x1、x2为方程的两个实数根．
　　∴　x1＋x2＝－（a＋b），x1·x2＝ ．
　　∵　x1（x1＋1）＋x2（x2＋1）＝（x1＋1）（x2＋1），
　　∴　x12＋x1＋x22＋x2＝x1x2＋x1＋x2＋1，
　　  x12＋x22－＝1，
　　  （x1＋x2）2－3x1x2＝1．
　　∴　［－（a＋b）］2－3× ＝1
　　  （a＋b）2－4ab＝1，　……………………………………………………………4分
　　∴　4ab＝（a＋b）2－1．　　　②
　　把②代入①，得
　　3（a＋b）2＋4［（a＋b）2－1］≥0，
　　∴　（a＋b）2≤4．　……………………………………………………………………7分
　　27．已知：抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上．
　　（1）求a的值；
　　（2）求a＞0时，该抛物线与直线y＝x＋9交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；
　　（3）P为（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q．线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．
　　解：
　　（1）y＝x2－（a＋2）x＋9＝（x－ ）2＋9－ ，
　　∴　此抛物线的顶点坐标为（ ，9－ ）．
　　∵　抛物线的顶点在坐标轴上，
　　∴　当顶点在x轴上时，9－ ＝0，
　　解得a1＝4，a2＝－8；
　　当顶点在y的轴上时， ＝0，
　　解得a＝－2．　…………………………………………………………………………2分
　　∴　a的值为4，－8，－2．
　　（2）当a＞0时，a＝4，
　　抛物线解析式为y＝x2－6x＋9，
　　由 　消去y，得
　　x2－6x＋9＝x＋9，
　　解得x1＝0，x2＝7，
　　∴　 　
　　∵　A点在B点左侧，
　　∴　A点坐标为（0，9），B点坐标为（7，16）．　………………………………6分
　　（3）如图所示．
图6
　　∵　点P在线段AB上，PQ垂直于x轴，
　　∴　xp＝xQ，yp＞yQ，
　　由题意，得yp－yQ＝6，
　　（x＋9）－（x2－6x＋9）＝6，
　　x2－7x＋6＝0，
　　解得x1＝1，x2＝6．
　　∴　P1（1，10），P2（6，15），
　　∴　点P1、P2均在线段AB上，且不与A、B两点重合，
　　∴　线段AB上存在点P，使PQ的长等于6．　…………………………………10分